Axel var det sjätte syskonet och äldste sonen i domprosten Johan Herman Björnströms och Annas (f De la Gardie) äktenskap. Han växte upp på domprostgården i Västerås. Han levde hela sitt liv i Västerås.

Axel utbildade sig till byggnadsingenjör. Han reste till Tyskland för arbetspraktik under sin utbildning. Där blev han sjuk i tuberkulos på grund av undernäring. En släkting på resa som kom förbi och hälsade på, upptäckte detta. Hon såg till att han fick komma till ett känt sanatorium i Schweiz. Han tjänstgjorde vid järnvägen SWB (Stockhom-Westerås-Bergslagen Järnvägar) under större delen av sitt yrkesverksamma liv. Bland annat ritade/konstruerade han banvaktsstugor och även en järnvägsbro.

Axel var mycket konstnärligt lagt och hans stora hobby var att snickra och att rita till exempel släkttavlor. Under Carl Malmsten på Steneby utvecklade han sin snickarkonst. Han tog med sig barnen Gunilla och Herman till Steneby. Enklare möbler och prydnadsföremål snickrade han (stolar till barnbarn, syskrin). Stugan i Tänndalen ritade han åt sin syster Ellen. Inre trappräcket på Slottsgatan 3 har han ritat, liksom inredningen i städskrubben i köket.

Han ritade bland annat det emblem EAB, vilket stod för Ebba & Axel Björnström, som han lät pryda silver, sänglinne och handdukar med (Ebba broderade). Juldekorationerna, en väggduk och en julduk med dekorationer används fortfarande i släktens hus i Västerås. Pepparkaks-figurerna och pepparkaksstugan som fortfarande är ett måste när jul firas. Till dessa används fortfarande samma mallar och former som Axel ritat.

Han reste mycket, ofta ensam, till Israel exempelvis, ibland tillsammans med "88 års män" (tror vi). Han fotograferade mycket och visade bilder från sin Israelresa i något offentligt sammanhang (STF eller kyrkligt?). Han hade ett stort religiöst engagemang. Han var frimurare. Han var ofta på Stiftsgården i Rättvik, i Medevi med Ebba på möten, hjälpte mycket Margit Sahlin i hennes verksamhet.

Annars reste han företrädesvis till svenska fjällen, Abisko respektive Sylarna. Lärde känna Sten Brander. Fjällvandring (i sin ungdom ofta tillsammans med sin syster Ellen, senare med Ebba och sina barn) och även skidåkning på vintern hörde till fritidssysselsättningarna. Han var också mycket intresserad av släktens historia och åkte ofta och hälsade på på Taxnäs, där han under sin barndom tillbringade somrarna med syskonen och sin mamma Anna (vars mamma var Mathilde De la Gardie född von Kræmer).

Axel var gift med Ebba Björkman (januari 1892–25 december 1982), dotter till provinsialläkare Ernst Björkman, var också ofta i fjällen (Tossåsen) tillsammans med Gertrud Nilsson, hon som gjorde rotkorgar. Axel lärde känna Ebba på fjällvandring (?). De förlovade sig 1918 i fjällen vid en sten på Njulla (Nuolja) i Abisko. Förlovningsvandringen gick på Kungsleden. De gifte sig 1919 i domkyrkan i Västerås och fick tre barn: Gunilla (2 februari 1920– ), Herman (15 december 1922–24 juli 1979) och Camilla (6 november 1924–21 aug 2008). Familjen bodde först på Engelbrektsplan 3, (mitt emot biblioteket) nära Ebbas föräldrar Märta och Ernst Björkman som bodde i Hahrska huset på Engelbrektsplan 2, 1 tr. Ernst förlöste Ebba när Gunilla föddes.

Efter ett år flyttade Axel och Ebba till Svantegatan 10 (?) där de bodde tills de flyttade till Ålsten i Bromma där de bodde cirka 1927–1931. Därefter bodde de på Floragatan 13 (Schackhuset) i Västerås, sedan på Skepparbacken 18 (från 1937 eller 1938) Gunilla gick sista året i skolan därifrån, minns hon. Ebbas föräldrar Märta och Ernst Björkman flyttade till Slottsgatan 3 år 1921/1922. Axels syster Anna Björnström bodde ett tag i Slottsgatan 1. Dessförinnan bodde hon, Axel och Ellen (samt förmodligen Knut) på Gustafsgatan 14 (hörnhuset) efter att Herman dött.

Till Slottsgatan 3 i Västerås flyttade Axel och Ebba efter Märtas död 1953 och bodde där resten av sitt liv. På somrarna flyttade de ut till Bernsborg, sommarhuset i Västerås utkant (i dag centralt). Det tillhörde från början Ebbas föräldrar Märta och Ernst Björkman. Axel var inte där så mycket de sista åren. Han föredrog att vara ”kvar i stan” på Slottsgatan och sysselsatte sig med att snickra och måla.

Från sommarbostaden Bernsborg någon gång i mitten av 1930-talet. Från vänster stående: Herman Björnström, sittande: Gunilla Björnström (sedemera gift Wahlsten), Markit (Kit) Björkman, Märta-Lisa Trana, Märta Björkman (född Tersmeden, Axels svärmor), stående Camilla Björnström (sedemera gift Lindberg), sittande Ebba Björnström, stående Axel Björnström och sittande i rullstol Ernst Björkman (Axels svärfar)

När barnen var små köpte Axel och Ebba en bil av märket Nasch och reste runt mycket i Sverige. Senare körde Axel en Fiat 850 (och även en Morris Minor). Han gav sina bilar namn: Svalan och Duvan (minns Ninni, som också minns en nymodighet i morfars bil: fyrpunktssäkerhetsbälte!). En gång på resa med Ebba, Micken och Herman på väg till Sundsvall, där Gunilla bodde med familj, krockade de med bilen och han hamnade på Mora lasarett och fick en knäskada. Därefter haltade han lätt.

Axel var mycket socialt lagd och kände många människor i Västerås. Att ta en kortare promenad med Axel i Västerås var omöjligt. Han träffade alltid så många människor att promenaden utsträckte sig till flera timmar.

Axel var ganska formad av sin uppfostran, där det var viktigt att kunna uppföra sig väl. Därför kunde han upplevas som ganska bestämd. De barnbarn som var hans favoriter upplevde honom som väldigt snäll. Att få blåsa på hans fickur i guld så att luckan öppnade sig var som ett trolleritrick för en liten pojke.

Axel ligger begravd i Västerås, Östra kyrkogården, i Ernst Björkmans familjegrav.

Axel (till höger) med sina två yngsta barn Camilla och Herman Björnström utanför Högfjällshotellet i Storlien 1944.